Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Gambar (a) mengindikasikan bahwa secara umum bia sanya tidak ada hubungan antara vektor x dengan vektor Ax. Namun ada beberapa vektor x tak nol sehingga x dan Ax merupakan penggandaan satu sama lainnya seperti pada gambar (b).
Definisi: Misalkan A adalah matriks $n\times n$ , maka vektor x yang tidak nol di $R^{n}$ disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu $Ax=\lambda x$ untuk suatu skalar $\lambda$ . Skalar $\lambda$ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.
CONTOH 1 :
Matriks A=$\begin{bmatrix}3 & 0\\ 8& -1\end{bmatrix}$ , maka vektor x=
adalah vektor eigen dari matriks A, karena Ax adalah kelipatan dari x, yaitu
Dalam hal ini $\lambda=3$ adalah nilai eigen dari matriks A.
CONTOH 2 :
Diketahui matriks P= $\begin{bmatrix}3 &2 \\ 1& 0\end{bmatrix}$
Vektor $x_{1}=\begin{bmatrix}-2\\ 1\end{bmatrix}$ dan $x_{2}=\begin{bmatrix}-1\\ 1\end{bmatrix}$ adalah vektor-vektor eigen dari matriks P, karena
dan
Nilai-nilai eigen dari matriks P adalah $\lambda _{1}=2$ dan $\lambda _{2}=1$.
Persamaan Karakteristik
Definisi: Persamaan det $(\lambda I-A)=0$ dengan $\lambda$ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. det $(\lambda I-A)=f(\lambda)$ yaitu berupa polinom dalam $\lambda$ yang dinamakan polinom karakteristik.
$I$ : merupakan matriks identitas
det : merupakan determinan
CONTOH 1 :
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks Q= $\begin{bmatrix}3 &2 \\ -1 &0 \end{bmatrix}$
Penyelesaian :
Polinom karakteristik dari matriks Q adalah
dan persamaan karakteristik dari matriks Q adalah $\lambda^{2}-3\lambda+2=0$ penyelesaian dari persamaan ini adalah $\lambda_{1}=1$ dan $\lambda_{2}=2$. Sehingga nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2.
Teorema : Jika A adalah suatu matriks $n\times n$ dan $\lambda$ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.
- $\lambda$ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
- Sistem persamaan $(\lambda I-A)x=0$ mempunyai penyelesaian tak trivial (non trivial).
- Ada vektor x yang tidak nol dalam $R^{n}$ sedimikian sehingga Ax=$\lambda$x
- $\lambda $ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik $det(\lambda I-A)=0$
Bukti :
Akan diperlihatkan bahwa 1,2,3, dan 4 ekuivalen satu sama lainnya dengan membuktikan urutan implikasi 1$\Rightarrow $2$\Rightarrow $3$\Rightarrow $4$\Rightarrow $1.
1$\Rightarrow $2
Karena $\lambda$ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A, maka menurut definisi nilai eigen berlaku: Ax=$\lambda$x dengan x tak nol.
$\Leftrightarrow \lambda Ix-Ax=0$
$\Leftrightarrow (\lambda I-A)x=0$
Karena x tak nol maka sistem persamaan linear homogen $(\lambda I-A)x=0$
Harus mempunyai persamaan tak trivial
2$\Rightarrow $3
Karena $(\lambda I-A)x=0$ maka
$\Leftrightarrow Ax= \lambda Ix$
$\Leftrightarrow Ax= \lambda x$
3$\Rightarrow $4
Karena $Ax= \lambda x$
$\Leftrightarrow Ax= \lambda Ix$
$\Leftrightarrow(\lambda I-A)x=0$
Karena ada x tidak nol , maka sistem persamaan linear homogen $(\lambda I-A)x=0$ haruslah $det(\lambda I-A)=0$ dengan $\lambda$ adalah suatu penyelesaian realnya.
4$\Rightarrow $1
Karena $\lambda$ adalah penyelesaian real dari persamaan $det(\lambda I-A)=0$, maka $\lambda $ adalah penyelesaian dari persamaan karakteristik $det(\lambda I-A)=0$ atau dengan kata lain $\lambda$ adalah nilai eigen dari matriks A.
Referensi :
Drs. H. Karso, M.M.Pd. Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Diagonalisasi Metriks. Modul 11.
adalah vektor eigen dari matriks A, karena Ax adalah kelipatan dari x, yaitu 
Posting Komentar