Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Beranda
Aljabar Linear

Nilai dan Ruang Eigen: Nilai Eigen dan Vektor Eigen, Persamaan Karakteristik

2 minute read


Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Gambar (a) mengindikasikan bahwa secara umum bia sanya tidak ada hubungan antara vektor x dengan vektor Ax.  Namun ada beberapa vektor x tak nol sehingga x dan Ax merupakan penggandaan satu sama lainnya seperti pada gambar (b).


Definisi: Misalkan A adalah matriks n×n , maka vektor x yang tidak nol di Rn  disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax=λx  untuk suatu skalar λ . Skalar  λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.


CONTOH 1 :

Matriks A=[308−1] , maka vektor x= adalah vektor eigen dari matriks A, karena Ax adalah kelipatan dari x, yaitu 



Dalam hal ini λ=3 adalah nilai eigen dari matriks A.


CONTOH 2 :

Diketahui matriks P= [3210]

Vektor x1=[−21] dan x2=[−11] adalah vektor-vektor eigen dari matriks P, karena



dan


Nilai-nilai eigen dari matriks P adalah λ1=2 dan λ2=1.



Persamaan Karakteristik

Definisi: Persamaan det (λI−A)=0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari  matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. det (λI−A)=f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik.


          I    : merupakan matriks identitas
         det : merupakan determinan


CONTOH 1 :
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks Q= [32−10]

Penyelesaian :
Polinom karakteristik dari matriks Q adalah


dan persamaan karakteristik dari matriks Q adalah λ2−3λ+2=0 penyelesaian dari persamaan ini adalah λ1=1 dan λ2=2. Sehingga nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2.


Teorema : Jika A adalah suatu matriks n×n dan λ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

  1. λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
  2. Sistem persamaan (λI−A)x=0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non trivial).
  3. Ada vektor x yang tidak nol dalam Rn  sedimikian sehingga Ax=λx
  4. λ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det(λI−A)=0
Bukti :
Akan diperlihatkan bahwa 1,2,3, dan 4 ekuivalen satu sama lainnya dengan membuktikan urutan implikasi 1⇒2⇒3⇒4⇒1.

1⇒2
Karena λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A, maka menurut definisi nilai eigen berlaku: Ax=λx dengan x tak nol.
⇔λIx−Ax=0
⇔(λI−A)x=0
Karena x tak nol maka sistem persamaan linear homogen (λI−A)x=0
Harus mempunyai persamaan tak trivial

2⇒3
Karena (λI−A)x=0 maka
⇔Ax=λIx
⇔Ax=λx

3⇒4
Karena Ax=λx
⇔Ax=λIx
⇔(λI−A)x=0
Karena ada x tidak nol , maka sistem persamaan linear homogen (λI−A)x=0 haruslah det(λI−A)=0 dengan λ adalah suatu penyelesaian realnya.

4⇒1
Karena λ adalah penyelesaian real dari persamaan det(λI−A)=0, maka λ adalah penyelesaian dari persamaan karakteristik det(λI−A)=0 atau dengan kata lain λ adalah nilai eigen dari matriks A.


Referensi :
Drs. H. Karso, M.M.Pd. Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Diagonalisasi Metriks. Modul 11.

Posting Komentar