Nilai dan Ruang Eigen: Ruang Eigen, Nilai dan Vektor Eigen, Transformasi Linier

Pilih Materi : Materi 1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Materi 2. Persamaan karakteristik Materi 3. Ruang Eigen materi 4. Nilai Eigen, Vektor eigen dan Transformasi linear ...

Definisi: Ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear $(\lambda I-A)x=0$  atau  $(A-\lambda I)x=0$  dinamakan ruang eigen dari matriks A  yang berrukuran $n \times n$.

Perhatikan contoh-contoh berikut dimana vektor-vektor eigen suatu matriks akan membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks tersebut.

CONTOH :

$$A=\begin{bmatrix}4 & 0 & 1\\ -2 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

Carilah basis untuk ruang eigen dari matriks A tersebut.

Penyelesaian: 

Hal pertama yang dilakukan adalah mencari persamaan matriks A dan nilai-nilai eigen matriks A.

$$det(\lambda I-A)=det\begin{bmatrix}\lambda -4 & 0 & 1\\ 2 & \lambda -1 & 0\\ 2 & 0 & \lambda -1\end{bmatrix}=0$$

atau

$$det(A-\lambda I)=det\begin{bmatrix}4 -\lambda & 0 & 1\\ -2 & 1-\lambda & 0\\ -2 & 0 & 1-\lambda \end{bmatrix}=0$$

$\Leftrightarrow (4-\lambda )\begin{vmatrix}1-\lambda  & 0\\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-2 & 1-\lambda \\ -2 & 0\end{vmatrix}=0$