Nilai dan Ruang Eigen: Ruang Eigen, Nilai dan Vektor Eigen, Transformasi Linier
Definisi: Ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear $(\lambda I-A)x=0$ atau $(A-\lambda I)x=0$ dinamakan ruang eigen dari matriks A yang berrukuran $n \times n$.
Perhatikan contoh-contoh berikut dimana vektor-vektor eigen suatu matriks akan membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks tersebut.
CONTOH :
$$A=\begin{bmatrix}4 & 0 & 1\\ -2 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
Carilah basis untuk ruang eigen dari matriks A tersebut.
Penyelesaian:
Hal pertama yang dilakukan adalah mencari persamaan matriks A dan nilai-nilai eigen matriks A.
$$det(\lambda I-A)=det\begin{bmatrix}\lambda -4 & 0 & 1\\ 2 & \lambda -1 & 0\\ 2 & 0 & \lambda -1\end{bmatrix}=0$$
atau
$$det(A-\lambda I)=det\begin{bmatrix}4 -\lambda & 0 & 1\\ -2 & 1-\lambda & 0\\ -2 & 0 & 1-\lambda \end{bmatrix}=0$$
$\Leftrightarrow (4-\lambda )\begin{vmatrix}1-\lambda & 0\\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-2 & 1-\lambda \\ -2 & 0\end{vmatrix}=0$
Posting Komentar